Главная » 2014 » Август » 11 » Скачать Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями. Дждеед бесплатно
4:34 AM
Скачать Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями. Дждеед бесплатно
Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями
Диссертация
Автор: Дждеед М
Название: Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями
Справка: Дждеед М. Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями : диссертация кандидата физико-математических наук : 05.13.01 Тверь, 2004 114 c. : 61 05-1/380
Объем: 114 стр.
Информация: Тверь, 2004
Содержание:
Содержание
Глава Необходимые сведения из математической теории оптимального управления
§1 Основные определения и понятия
§Необходимые условия оптимальности для систем, описываемых интегральными уравнения типа Вольтерра
§Принцип квазимаксимума
Глава 2 Модель хищник жертва, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений
§Постановка задачи Краевая задача принципа максимума Л Понтрягина
§Особое оптимальное управление
§Дискретная задача
§Влияние параметров задачи на оптимальное решение
Глава 3 Модель хищник жертва, описываемая системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра
§Необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра
§Необходимые условия оптимальности
§Исследование общей модели хищник жертва
§Постановка задачи Необходимые условия оптимальности
§Модель хищник жертва Управление отловом хищников и коэффициентами прироста жертв
Введение:
В настоящее время задачи экологии пррюбретают первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.Одной из основных задач экологии на современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем, поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория оптимального управления.Одной из первых работ в области математической экологии была работа А. Д. Лотки (1880 - 1949), который первый описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник - жертва. Большой вклад в исследование модели хищник жертва внесли В. Вольтерра (1860 - 1940), В. А. Костицин (1883 1963/) В настоящее время уравнения, описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки - Вольтерра.Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро-дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник - жертва.Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами.Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления. Любое управление сводится к принятию того или иного решения, которое основывается па информации об управляемом объекте и знании его свойств. Вычислительный эксперимент позволяет корректировать модель и её параметры, расширяет возможности математического моделирования.В настоящее время вырос интерес к проблемам математического моделирования экологических процессов. Это выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным моделям. В работе рассматриваются детерминистские нелинейные модели, описываемые системами обыкновенных и интегро-дифференциальных систем уравнений, с учётом эффекта запаздывания. Для их исследования использованы методы теории устойчивости и оптимального управления, такие как принцип максимума Л. Понтрягина и метод динамического программирования Р. Беллмана, приводятся необходимые условия оптимальности для различных типов задач оптимального управления, рассмотрены вопросы построения синтеза оптимального управления и оптимальность особых управлений в моделях типа хищник - жертва.Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования. Вопрос об адекватности модели и явлений правомерно решать лишь относительно определённой цели.Практическая ценность модели состоит в том, что её анализ доступен исследованию, когда непосредственное изучение объекта затруднено или невозможно.Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик.Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта.Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако, следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.Цель работы заключается в исследовании необходимых условий оптимальности для управляемых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, разработки методов и алгоритмов построения оптимального решения.Особенностью данной работы является анализ управляемых динамических моделей хищник - жертва, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегродифференциальными уравнениями. Управление осуществляется как за счёт внешних факторов, так и за счёт изменения внутренних параметров задачи. Задача формализуется как задача оптимального управления с заданным множеством допустимых значений. Целью управления является минимизация расходов или максимизация прибыли, поддержание гомеостазиса в системе или сохранении популяции и т. д.Исследование управляемой модели проводится по следующей схеме. В начале осуществляется качественный анализ управляемой системы, исследуется устойчивость положения равновесия или решения динамической системы в зависимости от начальных условий и параметров задачи. Затем с помощью необходимых условий оптимальности определяется структура оптимального управления, записывается краевая задача принципа максимума, исследуется возможность возникновения особых режимов и их оптимальность, строится синтез оптимального управления. Важным этапом является разработка и определение методов, алгоритмов, программно - технических средств моделирования. Большое внимание уделено исследованию структуры оптимального управления и влиянию параметров задачи на оптимальное решение.В работах [18, 44, 45] исследовались неуправляемые модели типа хищник - жертва, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.Пусть x(t) и y(t) — численность жертв и хищников соответственно. Предположим, что единственным лимитирующим фактором, ограничивающим размножение жертв, является давление на них со стороны хищников, а размножение хищников ограничивается количеством добытой ими пищи (количеством жертв). Тогда в отсутствие хищников, численность жертв должна расти экспоненциально с относительной скоростью sx, а хищники в отсутствие жертв — также экспоненциально вымирать с относительной скоростью s2.Коэффициенты sx и s2 — коэффициенты естественного прироста жертв и естественной смертности хищников соответственно.Функцию V (х) обычно называют трофической функцией хищника или функциональным откликом хищника на плотность популяции жертвы. Именно эти функции обычно определяются в экспериментальных работах, посвященных изучению хищничества, и к настоящему времени считается установленным, что эти функции обычно принадлежат к одному из следующих трех типов (рис. 1). Динамическое поведение системы в значительной степени зависит от вида трофической функции. VA 4! — . .Рис. 1. Различные типы трофических функций в системе хищник — жертва: а) этот тип характерен для беспозвоночных и некоторых видов хищных рыб; 6) трофическая функция с резко выраженным порогом насыщения характерна для хшпников-филыраторов (например, многих моллюсков); в) такой тип характерен для позвоночных — организмов, проявляющих достаточно сложное поведение (например, способных к обучению). Аналогичный вид будет иметь трофическая функция, если жертвы могут вырабатывать зашитую стратегию (например, прятаться в убежище, недоступное хищникам).Несмотря на то, что модель Вольтерра смогла объяснить многие реально наблюдавшиеся явления, у нее есть большой недостаток — не грубость (в математическом смысле этого слова) вольтерровских циклов, так что при любых сколь угодно слабых, возмущениях фазовых координат система переходит с одного цикла на другой. По-видимому, более адекватные модели должны обладать свойством «грубости».С точки зрения теории устойчивости, состояние равновесия системы (х*, у*)= /1о,Уо\ — это состояние безразличного равновесия, устойчивое по Ляпунову, но не асимптотически. Отсутствие асимптотической устойчивости равновесия указывает на то, что в вольтерровскои системе отсутствуют механизмы, стремящиеся сохранить ее нетривиальное равновесное состояние.Уже из простейшего анализа вольтерровскои модели, можно заключить следующее. Например, в отсутствие хищников численность жертв может неограниченно возрастать. В действительности этого не происходит, поскольку любая популяция существует в условиях ограниченности ресурсов (пища, пространство и т. п.), что и лимитирует ее численность. С другой стороны, количество жертв, потребляемых в единицу времени хищником, может возрастать до бесконечности при возрастании численности жертв, что тоже неверно, поскольку существуют чисто физиологические ограничения.Введение в вольтерровскую модель внутривидовой конкуренции среди жертв, возникающей из-за ограниченности ресурсов, делает модель «грубой», но колебания численностей становятся затухающими. Дифференциальные уравнения описывающие модель в этом случае имеют вид dx 0 2 — = е1х-рху-у1х , d\ , (1.4) "У 1 а - = крху-?2у at где слагаемое угх2 описывает внутривидовую конкуренцию.Выбор критерия управления зависит от цели. Это может быть и переход системы из одного устойчивого состояния х(0), у(0), z(0) в другое х(Т), у(Т), z(T) за минимальное время с минимальными затратами или получение максимальной прибыли от продажи того или иного вида популяции, и др.В математических моделях, описывающих двувидовые взаимодействия, игнорируется возможность неоднородного размещения популяций в занимаемой ею части пространства. Такие модели служат лишь первым приближением к реальности. В действительности условия проживания популяции никогда не бывают одинаковыми в разных частях ареала. Кроме того, даже для пространственно однородной среды обитания всегда существенны чисто биологические причины скопления и разрежения представителей популяции: инстинктивные поведенческие мотивы собирания их в стаи и стада, сезонные изменения в природе и т. д.Более точным математическим описаниям двувидовых взаимодействий, учитывающим неравномерность распределения численности популяций на занимаемых территориях, соответствует система уравнений в частных производных.В основу классификации всевозможных типов межвидовых отношений может быть положена принадлежащая Ю.Одуму идея классифицировать взаимодействие между видами по тому влиянию, которое это взаимодействие оказывает на численность взаимодействующих популяций. Так, например, тип взаимодействия при котором рост численности каждого вида подавляет численность остальных видов, называется конкуренцией.Если прирост численности взаимодействующих видов положительно влияет на каждый из них, то тип взаимодействия симбиоз (или мутуализм). Если же рост численности одного вида подавляет прирост второго, а рост численности второго вида стимулирует прирост первого, то взаимодействие классифицируется как хищник - жертва (или паразит - хозяин, или травоядные — растения и т. п.). Взаимодействие, при котором один из видов извлекает выгоду, не принося другому ни вреда, ни пользы, называют комменсализмом.Характер влияния одного вида на другой можно изображать одним из знаков: +(стимулирующий), -(угнетающий) или О (нейтральный). Тогда классификация парных взаимодействий состоит, очевидно, из шести основных типов: ++ симбиоз (мутуализм), — конкуренция, +- хищник — жертва, -0 аменсализм, +0 комменсализм, 00 нейтрализм.Пусть yi число, знак которого и абсолютная величина отражают соответственно характер и интенсивность влияния j - го вида на /- й вид, тогда уи - показатель внутривидового взаимодействия /- го вида. Квадратную матрицу г = |^,у|, отражающую структуру связей сообщества, называют матрицей сообщества.Анализ динамики сообщества с матрицей Г должен опираться на некоторую систему уравнений относительно функций Ni(t), аппроксимирующих численность видов сообщества. Чтобы составить эту систему уравнений, рассмотрим сообщество, структура которого изображена на рисунке.Солнечная энергия ? ^ ' Консументы м Продуцент Разлагатели Субстракты i k Рис. Структура взаимодействия между видами Компоненты сообщества разобьём на группы: Продуценты с биомассами (или концентрациями) х,(г=1,2,,р) - это в основном зелёные растения, способные преобразовывать световую энергию в собственную органическую биомассу и использовать в пищу простые минеральные вещества.Консументы с биомассами yj (j-l,2,,q) - это животные, питающиеся продуцентами и другими организмами, а также разлагатели, расщепляющие мёртвую органику на простые вещества, которые используются продуцентами.Субстракты с биомассами ск (к=1,2,,р) - это абиотические вещества (в основном продукты жизнедеятельности консументов), используемые продуцентами.Вся цепь превращений органических веществ от растений к разного вида животным - это так называемая трофическая (пищевая) цепь. Каждый живой организм в процессе питания преобразует органическое вещество и передаёт его дальше по цепи.Любая биомасса, как и любой человек, рано или поздно погибает и, разлагаясь, превращается в более простые химические соединения.Почва помогает попавшим в неё веществам и элементам, потребляемыми животными, снова включиться в природный круговорот.Такая модель в целом правильно описывает балансовые соотношения в наземных экосистемах, однако она страдает излишней общностью, не позволяющей использовать её для исследования конкретных систем. Поэтому необходимо, исходя из различных биологических соображений, конкретизировать вид входящих в модель функций с помощью подходящего выбора коэффициентов, являющихся, вообще говоря, функциями компонент, входящих в систему.Если предположить, что рождаемость продуцентов не ограничена ни светом, ни минеральным питанием, а ограничена лишь физиологическими пределами, то F[ = const. Поскольку компоненты - субстракты в этом случае не оказывают влияния на динамику остальных компонент, то в уравнениях экологического баланса можно рассматривать только уравнения (1.10) и (1.11).В диссертационной работе исследованы различные типы управляемых моделей хищник - жертва.Во второй главе рассматривается модель, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой оптимальное управление процессом отлова выбирается из условия максимума прибыли и сохранения популяции на заданном уровне.Для этой задачи строится оптимальное управление, исследуется влияние параметров задачи на оптимальное решение, анализируется возможность возникновения особых оптимальных управлений.