Математическое моделирование, исследование и повышение эффективности работы промышленных градирен с сетчатой насадкой

Диссертация

Автор: Ведьгаева, Ирина Александровна

Название: Математическое моделирование, исследование и повышение эффективности работы промышленных градирен с сетчатой насадкой

Справка: Ведьгаева, Ирина Александровна. Математическое моделирование, исследование и повышение эффективности работы промышленных градирен с сетчатой насадкой : диссертация кандидата технических наук : 05.14.04 Казань, 2003 154 c. : 61 04-5/1570

Объем: 154 стр.

Информация: Казань, 2003

Введение:

Пусть aL(M) ф 0, положим а+(М) = {ц е aL(M) : Reju > 0}, сг^(М) = {р, G (JL{M) \Rep< 0} Пусть выполнено условие

Тогда при некоторых дополнительных условиях существуют проекторы i+() G ?(Я) на соответствующие подпространства Я+() (при этом не обязательно, что Р- + Р+ = I и Я 0Я+ = Я) Пусть TGM- произвольное число
Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Веригина
P Lu = Ми + / (02) и полулинейных
Ьй = М(и) + / (03) операторных уравнений соболевского типа В качестве конкретных интерпретаций заявленной абстрактой ситуации рассмотрена задача Дирихле-Веригина для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной
А - А)щ = аАи + /, (04) моделирующего динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато пористой среде [5], [4], для уравнения
Л - А)щ = аАи - /ЗА2и + / (05) моделирующего (в линейном приближении) эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости [22], для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска
•A)ut = A{\u\p2u) + f (06)
Обоснование интереса к проблеме Простейший пример уравнения (02), где пространства Д = $ — I2; операторы L — J,
М = diag{—1,2, —3,, (—},
00 domМ = {uel2 : ^k2{uk)2 < oo}; k=1 = 0, показывает неразрешимость задачи Коши
0) = щ (07) для произвольных щ G il Очевидно однако, что в данной постановке задача (01), (02) однозначно разрешима при любом ТЕМ и при "правильном" выборе пространств Н+() Поэтому поиск начально-краевых условий, отличных от классических, но обеспечивающих корректность задачи (01) для уравнений (04), (05), (06), повышает эвристическую ценность моделей
Кроме того, уравнение (04) интересно еще и потому, что оно моделирует процесс влагопереноса в почве [110], процесс теплопроводности с "двумя температурами "[107], а также динамику некоторых неньютоновых жидкостей [108], [117] Уравнения (05) и (06) получаются из общего уравнения [22], которое в свою очередь, появилось вследствие критики ПЯ Кочиной [57] классического уравнения Буссинеска, моделирующего фильтрацию жидкости без учета вертикальной составляющей скорости свободной поверхности
В [70] изучена задача Коши-Дирихле для уравнения (06) при условии неотрицательности оператора при производной по времени Там же построен контрпример, показывающий точность полученных результатов Однако в [64] показано, что параметр Л в уравнении (06) может принимать произвольные отрицательные значения Поэтому и в полулинейном случае необходим поиск новых начально-краевых условий
Историография вопроса Если положить Т = 0, то задача (01) превратится в прямое обобщение задачи Коши (07) К задаче (03) для уравнения (02) редуцируются начально-краевые задачи для неклассических уравнений в частных производных [16]
Первым начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной по времени, начал изучать CJI Соболев В работе [95] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развили ученики CJ1 Соболева РА Александрян [3] и СА Гальперн [18] Их исследования охватывали линейные дифференциальные уравнения вида
Ьй = Ми, (08) где L и М — дифференциальные операторы "по пространственным переменным"
Первым, кто начал изучать задачу (03) для абстрактного линейного операторного уравнения (04), были МИ Вишик [14] и независимо от него СГ Крейн и его ученики [27], [38] В последних работах был детально изучен случай (L, ^-ограниченного оператора М (в нашей терминологии) при условии фредгольмовости оператора L (те indL = 0) Показано, что фазовым пространством уравнения (04) служит некоторое подпространство в Я коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L Все работы ([14], [27], [38]) имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений
Первым абстрактные уравнения вида (02) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать RE Showalter
120] Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L, вырождающегося на некотором множестве ненулевой меры RE Showalter [119] и независимо от него НА Сидоров со своими учениками [93] первыми начали изучать линейные уравнения вида (02) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных
Отдавая честь первооткрывателю, мы будем называть как абстрактные уравнения вида (02), (03), так и конкретные их интерпретации (04), (05), (06), уравнениями соболевского типа В дальнейшем всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "псевдопараболические уравнения"([17], [34], [66], [122]), "уравнения типа Соболева"([52], [53], [73], [74], [75], [76], [77], [78], [79]-[84], [116]), "уравнения типа Соболева-Гальперна"([36], [120]) и "уравнения не типа Коши-Ковалевской"([44], [56]) Кроме того, мы считаем уравнения соболевского типа самостоятельной областью лежащей на стыке функционального анализа и неклассических уравнений в частных производных Заметим еще, что важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (02), (04) отмечали ИГ Петровский [56] и Ж-JI Лионе [44]
Актуальность темы диссертации Все результаты по уравнениям соболевского типа можно весьма условно поделить на две части К первой по традиции следует отнести работы, в которых объектом исследования являются уравнения и системы уравнений в частных производных, которые изучаются посредством коэрцитивных оценок Основной результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы типа теоремы о неподвижной точке К этому разделу можно отнести результаты ВН Врагова [16] и его учеников АИ Кожанова [35], СГ Пяткова [58], [59] и других [124]; АП Осколкова [52], [53] и его учеников [54]; ГВ Демиденко [21], [109] и многих других [108], [123]
Ко второй части относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения вида (02), а конкретные начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида (03), (04) служат иллюстративными примерами общих абстрактных результатов В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают ИВ Мельникова и ее ученики [47], [48], НА Сидоров и его ученики [92]-[94], RE S ho waiter [119], A Favini [112], [111], A Favini и A Yagi [115] и многие другие [116], [117], [118]
К этому же разделу следует отнести работы ГА Свиридюка и его учеников [64]-[91] В них тоже изучается однозначная разрешимость задачи Коши (03) для абстрактного операторного уравнения (02) Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнения (02) Впервые термин "фазовое пространство "в данном контексте появился в работах [74], [78], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений"[68], [69], [72], [75]
Перечислим сначала работы, в которых фазовые пространства уравнений вида (02) изучены наиболее полно Прежде всего здесь следует отметить цикл работ ГА Свиридюка, в которых изучались фазовые пространства линейного уравнения (02) Отправной точкой послужила работа [67], в которой абстрактные результаты были приложены к начально-краевой задаче для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной [5] моделирующей движение жидкости, фильтрующейся в трещинновато пористой среде Затем эти результаты были развиты в работах [73], [75] Весьма краткий обзор этих результатов содержится в [76] Здесь полностью изучены фазовые пространства уравнения (02) в случаях, когда оператор М (L, <т)-ограничен и (Ь,р)-секториален
Работа [76] стала основой для многих глубоких исследований Среди всех отметим результаты ВЕ Федорова [89], [90], [101], в которых всесторонне изучены фазовые пространства уравнений (02) при условии (L, р)-радиальности оператора М В настоящее время эти результаты обобщают результаты A Favini и A Yagi [115] и служат основой для многочисленных приложений [81]
К настоящему времени задача Веригина для уравнений соболевского типа изучена мало Из работ, обнаруженных в математической литературе, необходимо прежде всего отметить статью СГ Суворова [97], где рассматривается вариационная постановка двухфазной задачи фильтрации с условиями Веригина на поверхности раздела Оказывается, что в регулярном случае данный подход приводит "почти к решению "исходной задачи Исследована также обобщенная разрешимость параболической задачи в нецилиндрических областях Обсуждается возможность численной реализации вариационного метода Кроме того, необходимо отметить статью АА Панкова и ТЕ Панковой [55], в которых мы находим развитие результатов НН Веригина [13] и СГ Суворова [97]
В работе [125] Xu Gen Qi обсуждает корректность класса абстрактных уравнений в гильбертовом пространстве
Т?'(х) = -А?(х), (0 < ж < +оо),
Q+m = Z+, Km |KW|| = 0
X—>+00
Здесь Т - инъективный ограниченный самосопряженный оператор, Q+ - ортогональный проектор на максимальное Т-положительное Т-инвариантное пространство, А - ограниченный линейный оператор, удовлетворяющий некоторым условиям ( А необязательно самосопряжен, I — А не обязательно компактный)
Позднее [126] в гильбертовом пространстве рассмотрена краевая задача где Q+(Q) - максимальная позитивная (негативная) спектральная проекция самосопряженного оператора Т, имеющая приложения в задачах переноса нейтронов В предположении, что выполняются условия ||А(®)|| решение исходной задачи строится через решение задачи новой Полученная задача, в свою очередь, с учетом обратимости оператора (I + T J^) на классе функций с соответсвующими граничными условиями, сводится к решению интегральных уравнений: где В(х) = I — А(х), К — К+ + операторы К+ (KJ) строятся через спектральную функцию оператора Т и зависят от ai («2), являются решением новой задачи
В работе Эделыптейна СЛ [105] на R рассматривается дифт<Щх) = + 0 < ж < а (09)
Q+ Особый вклад в изучении данной задачи сделали СГ Пятков и HJI Абашеева [25], [1] Пусть Е - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и || • || и В, L -линейные операторы, действующие в нем Рассматривается уравнение
But = Lu + f, t ? (0, Т), Т < оо (011)
Также предполагается, что оператор В необратим, в частности, он может иметь ненулевое ядро, и он имеет произвольное расположение спектра Рассматривается задача, когда оператор L равномерно диссипативен, те Re(—Lu,u) > 0 для всех и ? dom L и равномерно диссипативен на dom L(J М, где М некоторое подпространство конечной коразмерности Рассматриваются также уравнения
B(t)ut = Щи + /, te (О, Т), (012)
B{t)ut = G{t,и) + /, t е (0,Т), (013) где J3(i), L(t) - семейство линейных операторов, действующих в пространстве Е, •) - семейство монотонных операторов, действующих в Е И ставятся краевые условия вида
Я+и(0) = ?Г«(Т) - «у, (t < оо), (014) u(0) = tzj, (* = оо), (015) где Е+ и - спектральные проекторы оператора Б, соответствующие положительной и отрицательной части спектра При всех предположениях установлена разрешимость краевых задач для уравнений (012), (013)
Новизна полученных результатов Прежде всего необходимо отметить новизну постановки задачи Веригина (01) для линейных уравнений (02) Такая постановка, учитывающая спектральные свойства оператора М относительно оператора L, на наш взгляд, является естественным обобщением классической задачи Веригина
Впервые построено точное решение задачи Веригина (01) для уравнения (02) при любых TgRb случае (L, сг)-ограниченного оператора М, ипри любых Т Е М+ в случае (L, р)-секториального относительно ограниченный оператор", которое введено в [30] совсем по другому поводу) В дальнейшем теория относительно сг-ограниченных операторов и порождаемых ими вырожденных аналитических групп операторов легла в основу многих исследований Именно, ЛЛДудко [24] рассмотрела класс замкнутых операторов, являющихся относительно ^-ограниченными операторами; АА Ефремов [26] изучил задачу оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа с относительно сг-ограниченными операторами; АВ Келлер [31] нашла необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений таких уравнений; ГА Кузнецов [39] нашел необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности операторов в терминах относительно присоединенных векторов, причем более простые, чем в [24] и [76]; ММ Якупов [106] использовал относительную сг-ограниченность для исследования морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа
К сожалению, несмотря на обилие результатов и приложений, теория относительной сг-ограниченности операторов и вырожденных аналитических групп операторов остается малоизвестной широкой математической общественности По этой причине уже сейчас появляются статьи1, в которых с использованием других обозначений изложены те же результаты, что и в [76], [101], но без всяких ссылок и доказательств Ввиду таких обстоятельств мы
1 Баскаков АГ, Чернышев КИ К спектральной теории пар линейных операторов // Изв РАЕН, сер МММИУ 1997 Т1, т 2 С3-30 сочли необходимым поместить в диссертацию сводку основных результатов теории относительных cr-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов
Первым относительно секториальные операторы рассматривал ГА Свиридюк [75] Им было показано, что понятие относительной секториальности оператора является естественным обобщением понятия секториальности оператора [27], [29], [104] Однако вскоре обнаружилось, что понятие относительной секториальности оператора оператора обобщает понятие относительной <т-ограниченности оператора только в случае устранимой особой точки в бесконечности L-резольвенты оператора М Для того, чтобы ликвидировать этот досадный пробел, ТА Бокарева ввела в рассмотрение [8] понятие относительной р-секториальности оператора, обобщающее понятие относительной сг-ограниченности оператора и в случае полюса в бесконечности L-резольвенты оператора М Первые итоги в этом направлении были приведены в обзоре [44] Затем были введены в рассмотрение относительно сильно р-секториальные операторы справа (слева) [8] и относительно сильно р-секториальные операторы [89], [90] В дальнейшем относительно р-секториальные операторы изучались в различных ситуациях Именно, JIJI Дудко [24] исследовала случай, когда оба оператора замкнуты, а пространства Я и | совпадают; АА Ефремов [26] исследовал задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами; АВ Келлер [31] нашла достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия существования ограниченных решений таких уравнений; ГА Кузнецов [39] начал поиск относительно р-секториальных операторов среди эллиптических операторов; ММ Якупов [106] использовал относительно р-секториальные операторы для изучения фазовых пространств некоторых задач гидродинамики вязкоупругих жидкостей
Класс s-монотонных и s-коэрцитивных операторов ввел в рассмотрение ГА Свиридюк В [64], [70] им была получена локальная разрешимовть однородной задачи Коши-Дирихле для уравнения (06) при условии Л > — Ai, где Ai - первое собственное значение однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа —А в ограниченной области Г2 С Жп Затем в [85] этот результат был распространен на случай неоднородной задачи Коши-Дирихле В [84] методами [23] локальное решение было продолжено до глобального
Основной метод диссертации - изучение абстрактных задач (01),(02) и (01), (03), а затем редукция к ним задачи Веригина-Дирихле для уравнений (04), (05), (06) В ходе редукции мы используем стандартную технику, созданную на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных Основы этой техники были заложены в классической монографии [96] Современное состояние можно представить по монографиям [41], [42], [44], [50], [98], [103]
Краткое содержание диссертации В первой главе изучена задача (01) для уравнения (02) с относительно ^-ограниченными операторами
В п 11 вводятся относительно ст-ограниченные операторы, изучаются свойства их резольвент, строятся проекторы по относительному спектру В п 12 строятся вырожденные аналитические группы операторов и изучаются их ядра и образы В п14 приводятся необходимые и достаточные условия относительной <т-ограниченности операторов в терминах относительно присоединенных векторов В основном все результаты почерпнуты из [76] и [101] П15 тоже носит справочный характер В нем собраны и систематизированы основные факты теории дифференциальных операторов в частных производных в функциональных пространствах
В п 13 приведены основные результаты первой главы Здесь поставлена и изучена задача Веригина для уравнения (02) при условии (L, <т)-ограниченности оператора М Доказана теорема о существовании и единственности задачи Веригина при естественных предположениях на правую часть уравнения Получена в явном виде формула общего решения Приведенные здесь абстрактные результаты в п16 прилагаются к конкретной задаче, возникшей в приложениях Именно в п 16 рассмотрена задача Дирихле-Веригина для уравнения
Л - А)щ = аАи + /, (016) моделирующего динамику давления жидкости, фильтрующего динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинноватопористой среде [5] Здесь параметры а е и Л ? Ж характеризуют среду, причем ГА Свиридюком было показано [65], что параметр Л может принимать отрицательные значения
Во второй главе изучена задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами Поскольку теория относительно р-секториальных операторов пока еще недостаточно широко известна, то в первых четырех параграфах второй главы дается сводка основных результатов этой теории В п21 вводятся относительно р-мультирезольвенты и изучаются их свойства В п22 строятся вырожденные аналитические полугруппы операторов и изучаются свойства их ядер и образов В п23 указываются условия, достаточные для существования единиц этих полугрупп, которые, очевидно, являются проекторами, дающими нам нужное расщепление пространств В п24 даются условия существования оператора L^1 Полные доказательства приведенных здесь результатов можно найти либо в диссертации ВЕ Федорова [100], либо в его же учебном пособии [101]
П25 носит вспомогательный характер В нем построены интерполяционные пространства, необходимые нам в дальнейшем Способ построения взят из [104], он основан на методе вещественной интерполяции [6], [98]
П26 содержит основные результаты второй главы В нем представлены условия, достаточные для существования единственного решения задачи Веригина и приведена общая формула этого решения в случае (L, р)-секториальности оператора М Полученные здесь абстрактные результаты в следующих параграфах применяются к уравнениям с частными производными, возникшими в приложениях Здесь же содержится контрпример, показывающий точность наших результатов
В п27 рассмотрена задача Дирихле-Веригина для уравнения
А - А)щ = аАи - /ЗАи2 + / (017)
Здесь параметры а,/3 ? R+, А е 1 характеризуют среду, свободный член / которой соответствует источникам (стокам жидкости) Причем ранее показано [67], что параметр Л может принимать отрицательные значения
Третья глава диссертации посвящена исследованию задачи Веригина для полулинейного уравнения (03) В п 31 изучены свойства s-монотонных и s-коэрцитивных операторов по сравнению с монотонными и коэрцитивными операторами [17] В п 32 описывается множество решений задачи Дирихле для уравнения (03) В п 33 рассмотрена задача (01), (03), где в отличие от предыдущих глав спектральные проекторы строятся по спектру оператора L В п34 рассматривается задача Дирихле-Веригина для уравнения (06) Все результаты носят качественный характер, однако ввиду [66] могут быть использованы при численных расчетах
Благодарности В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридю-ку за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии Автор так

Скачивание файла!

Для скачивания файла вам нужно ввести
E-Mail: 1528
Пароль: 1528
Скачать файл.