Главная » 2014 » Июнь » 25 » Скачать Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа. бесплатно
2:12 AM
Скачать Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа. бесплатно
Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа
Диссертация
Автор: Коровина, Мария Викторовна
Название: Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа
Справка: Коровина, Мария Викторовна. Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа : диссертация доктора физико-математических наук : 01.01.02 Москва, 2004 193 c. : 71 05-1/112
Объем: 193 стр.
Информация: Москва, 2004
Содержание:
Введение
Вводные замечания
Обзор литературы
Содержание работы
Глава 1 Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками для пары
§1 Пространства с асимптотиками
§2 Задачи Соболева в пространствах с асимптотиками
§3 Построение алгебры операторных морфизмов
Глава 2 Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками на стратифицированном многообразии, представляющем собой объединение двух пересекающихся плоскостей
§1 Пространства с асимптотиками для пары ^R",Rn?', и/?"-1'2)
§2 Задачи Соболева в пространствах с асимптотиками для пары л",/?"'"1 и Я"'"')
§3 Построение алгебры операторных морфизмов
Глава 3 Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками на стратифицированном многообразии представляющем собой объединение плоскостей в общем положении
§1 Основные определения
§2 Постановка задачи
§3 Построение алгебры операторных морфизмов
Глава 4 Эллиптические задачи на стратифицированных компактных многообразиях в пространствах с асимптотиками
§1 Построение регуляризатора задачи Соболева в пространствах с асимптотиками для пары Мэ1, где Х-гладкое компактное подмногообразие
§2 Задача Соболева в пространствах с асимптотиками для случая произвольного стратифицированного компактного многообразия без края, имеющего трансверсальные пересечения
Глава 5 Примеры
Пример
Пример
Глава 6 Оператор Шредингера с потенциалом сосредоточенным на плоскости
§1 Построение сопряженного оператора к
§2 Условия симметрии
§3 Условия самосопряженности оператора Аа,рк
§4 Условия полуограниченности операторов А0а'р'к и Аа'р'к
Глава 7 Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на пучке плоскостей, имеющих нулевое пересечение
§1 Построение симметрических расширений оператора AL для случая пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
§2 Необходимые и достаточные условия обратимости оператора A a,p,v,k для пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
§3 Полуограниченность оператора Аа р v k для случая пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
§4 Самосопряженность оператора Аа р „ к для случая пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
§5 Построение самосопряженных расширений оператора А, в L2(R2") для случая пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
§6 Построение симметрических расширений оператора А, для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение
§7 Необходимые и достаточные условия обратимости оператора Л2 - Ар vk для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение
§8 Необходимые и достаточные условия полуограниченности и самосопряженности оператора Ар v k для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение
§9 Самосопряженность оператора Ар v k для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение
§10 Построение самосопряженных полуограниченных расширений оператора AL в [^(R2") для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение
Глава 8 Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на пучке плоскостей, имеющих ненулевое пересечение
§1 Построение симметрического расширения оператора Аьдля пучка состоящего из двух плоскостей имеющих ненулевое пересечение
§2 Необходимые и достаточные условия обратимости оператора X 2- Аа р vk для пучка состоящего из двух плоскостей имеющих ненулевое пересечение
§3 Полуограниченность оператора Аа р v k для случая пучка состоящего из двух плоскостей имеющих, ненулевое пересечение
§4 Построение самосопряженных расширений оператора ALe L2(R"+") для случая пучка состоящего из двух плоскостей, имеющих ненулевое пересечение
§5 Построение самосопряженного расширения оператора Лапласа с областью определения состоящей из функций обращающихся в ноль в окрестности пучка состоящего из m плоскостей, имеющих ненулевое пересечение
§6 Построение самосопряженных полуограниченных расширений оператора AL в L1(Rn+") для пучка состоящего из m плоскостей, имеющих ненулевое пересечение
Глава 9 Самосопряженность в существенном операторов
Aa'pk, Ар^к, AkP„v
§1 Самосопряженность в существенном оператора Аа,р к при условии р >
§2 Самосопряженнось в существенном операторов Ар vkuAkpi,v при неотрицательных значениях к
Оператор Р'ц является композицией оператора умножения на функцию ju(x,co) и оператора л\, а оператор Р* - композицией оператора л{ и оператора умножения на функцию ?и{х,со).
Оператор пг при достаточно малом значении s индуцирует оператор л2" : Hs(dU) —» H"(U), тгг'и(х,со) = \(г)®и{х,со) . Сопряженным к нему является оператор л\ 1 л\:Hs(U) —» Hs[SU), nlu(r,co,x)=\u(r,co,x)rv-'dr. о
Нашей задачей является дополнение уравнения (9) до задачи с нулевыми ядром и коядром при достаточно большом значении параметра Л с помощью введения граничных и кограничных членов. А именно, рассмотрим задачу:
N "" Шк 1пУ Г / \
Hu{x,t) + X{r)% (mod/Г") i=l /=0 j=0 ]?
Ч+Z B?kP
J— J "y jk
Через Вцк обозначены некоторые псевдодифференциальные операторы ordB?jk > —, V
Этот оператор определяет сопряженный оператор в шкале пространств Соболева относительно соответствующих спариваний. А именно V
U :HS+1(R"-V) Hs(Rnv х ?Г), = M(jc) ® ?(?) ,5 > j.
Основным результатом главы 1 является формулировка достаточных условий обратимости оператора соответствующего задаче (11) и построение решения этой задачи.
Для того чтобы построить теорию эллиптических задач в пространствах с асимптотиками, необходимо описать алгебру операторных морфизмов, которая содержала бы разрешающие операторы для задач Соболева в пространствах с асимптотиками, иными словами, задач типа (11).
Нашей целью является расширение множества морфизмов, соответствующих задаче (11) до алгебры с инволюцией. В конце первой главы рассмотрен набор "элементарных" операторов, обладающих тем свойством, что их композиции дают операторы входящие в (11). Ранее нами были определены операторы л2 , л\ и лх , л\. Кроме того, определен оператор вложения i\R"v —> R"v х Dv и, соответственно, операторы /'„ и Г. Рассмотрим графическую схему:
Ha\Rn-v*Dv)
В этой диаграмме индексы пространств Соболева считаются допустимыми для действующих в них операторов. Ясно, что мы можем рассмотреть множество операторов, состоящих из композиций операторов входящих в графическую схему (12), псевдодифференциальных операторов и операторов умножения на функции у/(г), которые принадлежат классу С00 или удовлетворяющих неравенству у/{г) dr1 J С,га для некоторой константы С' ? и некоторого фиксированного а и любого}. В работе показано, что задачу (11) можно переписать в терминах операторных морфизмов из этого множества и доказана теорема.
ТЕОРЕМА 1.2 Операторный морфизм
А = а2х а22 а2ъ
Следующей задачей является изучение эллиптической задачи в пространствах с асимптотиками для пары ^Я" , где Х- стратифицированное многообразие представляющее собой объединение трансверсально пересекающихся плоскостей Я"-^ в общем положении. Это означает, что X = Л"-"' и Я"'1'1 и.иЯп'^ , причем в окрестности любой точки т&х набор плоскостей, проходящих через эту точку пересекается трансверсально. Следовательно, объединение Я"у* и Яможно разбить на дизъюнктную сумму подмногообразий ма <= я1' п я'2 г\.г\я'к, ма = я'1 г\ я'2 п.п/?'', отвечающих всевозможным мультиин-дексам а = (/, , где /', < г2 <.< ?к. Ясно, что любой точке те я'' п я'2 п.г\я'" можно единственным образом поставить в соответствие то подмногообразие из множества | ма |, которое ее содержит.
В главе 2 рассмотрен случай, когда стратифицированное многообразие X является объединением двух трансверсально пересекающихся плоскостей. Хотя эта задача является модельной, но при ее решении возникают те же трудности, что и в общем случае. Поэтому, хотя решение в общем случае и является значительно более громоздким, но идеологически" оно ничем не отличается от решения модельной задачи для двух плоскостей. Общий случай подробно разбирается в главе 3. Введем следующие обозначения:
Через ха обозначим координаты вдоль подмногообразия Ма, а через ра - радиус-вектор в подпространстве трансверсальном к Ма, (ра,соа,ха) — координаты в трубчатой окрестности подмногообразия Mа, a va - его коразмерность.
Через ак будем обозначать множество всех мультииндексов вида (zj,.,^), отвечаюп щих пересечению к многообразий, а через а - \J?, ,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Асимптотическим типом Та называется набор
S'k называются степенями, а неотрицательные числа т'к - кратностями соответствующими значениям S'k.
1) и (R") e^R"\R"'Vl uRnVlu.\jRnv-).
2) Функция u(R") в окрестности стратифицированного многообразия X допускает следующее представление
U(R") = U0(R")+Y, ? -^-ui'ix^co,) (13) fi?Ct k=\ i=0 j=0 J ' где ujf (xp,o)p) eЯ,"(^?/,) , u0(R") e H"" (R"), nf - такие целые числа, что выполнены неравенства Sf + "f
Как и ранее, через Й обозначим эллиптический дифференциальный оператор с параметром Я порядка т с гладкими коэффициентами. Рассмотрим задачу
Ни = / (шо(1Х). (14)
Аналогично предыдущему введем операторы л«:Н\Ма) Н\Ма х ?Г-'), л/и(ха) = \{соа)®и(ха) и сопряженные к ним
Здесь, как и ранее, сопряжение определяется относительно соответствующих спариваний. Теперь мы можем определить операторы Р/1:Нх(Мах8у"1)^Н*(Ма) и
Р„а и)(ха,соа)= а{х а,со а )и(ха, со а , г«-'
РмУ)(ха) = ^а(ха,0}а)ла' с(ха), здесь ?иа(ха,соа) - некоторая С00 - функция.
Оператор Р^ является композицией оператора умножения на функцию ла(ха,соа) и оператора ла\, а оператор Р* - композицией оператора л а- и оператора умножения на функцию (ха, со а ).
Как и ранее, нашей дальнейшей задачей является дополнение уравнения (14) до задачи с нулевыми ядром и коядром при достаточно большом значении параметра Л с помощью добавления граничных и кограничных членов. А именно, рассмотрим задачу ир < т1 „ 1п-/ п „
Рса Аг=1 1=0 7=0 ] • "к т" р п т" , ^^
К*" = V*"у/(ррг)См^, - радиус-вектор в трансверсальном подпространстве к Мр п Му в Мр, а некоторые псевдодифференциальные операторы действующие на подмногообразии Мв такие, что оЫУ*"у/(рр)СМ = — , здесь —, в"цк —
1 7 гР 2 2 соответствующие псевдодифференциальные операторы, порядки которых больше или
Ур равны функции gp(xp) принадлежат пространству Н 2 (Мр).
В третьей главе диссертации сформулированы достаточные условия однозначной разрешимости задачи (15) и строится ее решение при условии их выполнения.
В конце третьей главы выписано множество операторных морфизмов описывающих задачу (15), аналогично тому, как это было сделано в первой главе работы для задачи (11).
Для случая стратифицированного многообразия состоящего из двух плоскостей множество морфизмов (16) можно проиллюстрировать графической схемой аналогичной графической схеме (12). Это будет сделано ниже в главе 2.
Таким образом, мы выписали множество операторов таких, что их композиции с псевдодифференциальными операторами и операторами умножения на соответствующие функции дают все операторы из (15).
ТЕОРЕМА 3.2. Операторный морфизм а а а Л
А21 А22 . А2г
8'р,а'р4 = 1,2. Множество морфизмов такого вида образуют алгебру.
В главе 4 результаты полученные в Я" переносятся на случай, когда стратифицированное многообразие X представляет собой гладкое компактное многообразие без края или объединение конечного числа гладких компактных многообразий без края, имеющих трансверсальное пересечение. Иными словами, полученные ранее результаты обобщаются на случай, когда стратифицированное многообразие представляет собой объединение произвольного конечного числа гладких компактных многообразий без края, имеющих трансверсальное пересечение. То есть в четвертой главе строится общая теория эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками для случая произвольного стратифицированного компактного многообразия без края, имеющего трансверсальные пересечения.
Вначале рассмотрена задача для пары (М,Х), где М - гладкое компактное многообразие без края, а X - его гладкое подмногообразие. Для этой пары в работе [8] дается определение пространства с асимптотиками, формулируются достаточные условия эллиптичности оператора соответствующего полученной задаче и строится локальный регуляризатор в окрестности содержащей точки многообразия X. В данной работе мы построим общий регуляризатор для всего многообразия М, то есть перейдем от регуля-ризаторов определенных локально в окрестности каждой точки к регуляризатору, определенному на всем многообразии М. Он строится стандартным образом с помощью разбиения единицы.
Далее в главе 4 результаты, полученные в главе 3, обобщаются на случай, когда стратифицированное многообразие представляет собой объединение произвольного конечного числа гладких компактных многообразий без края, имеющих трансверсаль-ное пересечение, то есть строится задача типа Соболева для пары (М,Х), где, как и ранее М - гладкое компактное многообразие без края, Х = Ц и12и.,и?л, где Ьх,Ь2,.,Ьп - гладкие компактные подмногообразия многообразия Мтакие, что любая их подсистема трансверсально пересекается. Очевидно, что объединение Ц и ?2и.и?я можно разбить на дизъюнктную сумму подмногообразий
У„ с: Ь, п Ь, п.пД , таких, что У„ = Ц сл Ц п.пД отвечающих всевозможным а 11 ?2 ' а I, /2 'к мультииндексам а = (/, ,.,1к), где /, < /2 <.< ?к. Все эти многообразия, кроме подмногообразия минимальной размерности будут открыты. Ясно, что любой точке теЬх и и.иЬп можно единственным образом поставить в соответствие то подмногообразие из множества \Уа}, которое ее содержит.
Для пары (М, X) в главе 4 дается определение пространства с асимптотиками, формулируются достаточные условия эллиптичности оператора соответствующего полученной задачи типа Соболева и строится локальный регуляризатор соответствующей задачи в окрестности содержащей точки многообразия X. Затем строится общий регуляризатор для всего многообразия М. Для этого используется стандартный способ основанный на разбиении единицы.
В последней главе первой части - главе 5 рассматриваются два примера задач в пространствах с асимптотиками для операторов вида Л2 - А". Оба эти примера являются эллиптическими задачами Соболева в пространствах с асимптотиками. В первом примере рассматривается пространство с асимптотиками соответствующее паре (1?",, а во втором примере - паре ,Х^, где Х - стратифицированное многообразие, представляющее собой объединение трансверсально пересекающихся плоскостей. Оба эти примера используются в приложениях для построения самосопряженных расширений оператора Лапласа.
На этом первая часть диссертации заканчивается.
Вторая часть диссертации посвящена приложениям общей теории, изложенной в первой ее части, к построениям самосопряженных расширений оператора Шредин-гера с потенциалом, сосредоточенным на плоскости и на пучке плоскостей.
Основной целью первой главы второй части - главы 6, является построение нетривиальных самосопряженных расширений оператора Д0, с областью определения = |м(х,/) <=Н2(11")\и(х,() = 0 в некоторой окрестности 1{"к } (17) и на ней совпадающего с оператором Лапласа. Здесь (х^,.,хпк) - координаты вдоль
Я"к, / - трансверсальные координаты к Я"'к, а к — его коразмерность. (Мы будем считать, что к* 1). Наша задача состоит в построении самосопряженных расширений оператора Д0 в Ь2(Я"). Ясно, что простейшим самосопряженным расширением этого оператора является оператор Лапласа с областью определения Н2(Я"). Заметим, что в работе [39] показано, что этот самосопряженный оператор совпадает с расширением по Фридрихсу оператора Д0.
Сначала строится оператор сопряженный к Д0и доказывается, что его область определения - Бк д*0 состоит из функций вида
§(х,О = Я0(х,О + (р(гШх), (18)
Д*0 состоит из функций g(x,t) е Н2(К"). То есть при условии к>3 существует только тривиальное самосопряженное расширение. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только два случая к=2, к=3.
Ясно, что во всем оператор Д*0 не является симметрическим, т. е. для получения симметрического оператора область определения сопряженного оператора надо сузить. Обозначим через Ок множество функций принадлежащих Ок&-„ таких, что
8о(х,0 еЯЧД"-*) где (19)
Ниже мы будем искать подпространства пространства ?>*д-0, описываемые в терминах граничных условий, сужения на которые оператора Д*0 являются симметрическими операторами. Введем обозначения
Оа'р'к =м0(х,0) + а(1-Д)^, (*) = () да,р,к Д* I
Вначале требуется ответить на вопрос о симметрии оператора Аа,рк. УТВЕРЖДЕНИЕ 6.1 Операторы Аа'рк являются симметрическими.
Следующей задачей является формулировка необходимых и достаточных условий самосопряженности оператора Аа'рк. Для этого в работе доказывается, что оператор (Л2 +1 - Аа,рк) имеет ограниченный обратный тогда и только тогда, когда выполнены условия р > и ос Ф 0. Отсюда следует теорема.
ТЕОРЕМА 6.1. Для того чтобы оператор Аа'рк был самосопряженным необхок — 2 димо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия р > —-— и аФ 0.
Ясно, что оператор Аа,рк является самосопряженным расширением оператора Лапласа с начальной областью определения Ок&„.
Теперь проверим, что будет при остальных неотрицательных значениях р. Для этого введем более широкий класс операторов чем Аа'р'к. Обозначим через й множество функций принадлежащих /)д. , таких, что и0(х,0 еХ2(Тг"),м,(х) 6 Ь2(Яп'к), а через О0а'р'к множество
Б0а-Р'к ={и(х,ОеБ\и0(х,0) + а(1-А)рщ(х) = 0}
В работе показано, что оператор А0а'р'к является симметрическим, и при р > —-— совпадает с оператором Д а'р'к. Осталось найти условия при которых оператор А0а,р'к является самосопряженным.
ТЕОРЕМА 6.3. Операторы А0а'р'к являются самосопряженными расширениями оператора Д0 при
1. к—2 для всех неотрицательных значений р,
2. к=3 для и для О < р < ^ при а0.
Теперь осталось изучить вопрос о полуограниченности полученных самосопряженных расширений. На этот вопрос дает ответ следующая теорема.
ТЕОРЕМА 6.4. Операторы -Аа,р'к и -А"'р'к являются полуограниченными снизу тогда и только тогда когда а > О.
На этом глава 6, посвященная изучению вопроса о построении самосопряженных расширений оператора Д0, закончена. В конце диссертации в главе 9 будет дан ответ на вопрос о построении самосопряженного в существенном расширении этого оператора.
Следующая задача состоит в построении самосопряженного расширения оператора Лапласа с областью определения состоящей из функций обращающихся в ноль в окрестности пучка плоскостей, имеющих нулевое пересечение. Эта задача решается в главе 7.
Обозначим через ?>. множество функции вида (21), где и0(х) еЯ' (Я2"), о у > — а через А*о — сужение оператора на ?)д. .
Ниже мы будем искать подпространства пространства И , описываемые в термину нах граничных условий, сужения на которые оператора А*0 являются симметрическими операторами.
Введем обозначения /,„„.* = />0(х) + Д(1-А)"м,(л;,) = 0,г = 1,.,т . (22)
Заметим, что условия (22) являются локальными и совпадают с условиями Скорнякова-Тер-Мартиросяна в случае, когда к=0. Пусть в Ь2(Я1п) выбрано замкнутое подпространство IV инвариантное относительно оператора Д*0 такое, что . = 1?г\Ор ук является всюду плотным в Ш. Обозначим через Ав к сужение оператора А*0 на ?V . ' "о
УТВЕРЖДЕНИЕ 7.3. Пусть IV выбрано так, что для любой функции и(ху ) . выполнено условие и,(0)=0, 1=1,.,т, (23) тогда оператор Дд „ к является симметрическим.
Заметим, что в ?^{Я2") можно многими способами выбрать подпространство Ж, принадлежность к которому гарантировала бы выполнение перечисленных выше условий. К примеру, это могут быть подпространства нечетных функций, антисимметрических функции и др.
Сначала рассмотрим вопрос об обратимости оператора ?-Ар ук. Обозначим
Д р„кк к , очевидно, что из обратимости оператора Я2 - Д в 12(Т?2") будет следовать обратимость оператора Л2 — А р,,У,к в Ш.
ТЕОРЕМА 7.7. Оператор (Л2 - А р,,у,к) обратим в пространстве Ь2(Я2") при достатото большом ШСШ—НОМ Л, а при обрашпого оператора не существует.
Теперь мы можем сформулировать условия, при которых оператор Ар 1>к является самосопряженным. Пусть Ж замкнутое подпространство в Ь2(Я2") инвариантное относительно оператора Д*0 такое, что = п IV всюду плотно в Ш и \У 0.
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 7.9. Самосопряженность оператора Ар ук эквивалентна выполнению двух условий
2. Для любой функции и(х) еРГд. будет выполнено ц(0) = 0, /=7,.,т
Заметим, что при выполнении второго условия оператор Ар у к при к < —-— не является самосопряженным, но имеет полуограниченное самосопряженное расширение, например расширение по Фридрихсу.
Как уже говорилось выше, области определения оператора, сопряженного к А, принадлежат функции, которые в некоторой окрестности Ь представимы в виде (21), а оператор А*/. совпадает с оператором Лапласа на Я"+" \ Ь, точнее говоря, действие оператора сопряженного к А1 совпадает с оператором Лапласа с точностью до распределений сосредоточенных на Ь. Этот оператор не является симметрическим на своей области определения. Для получения самосопряженного оператора его область определения надо сузить. Обозначим через О. множество функции вида (21), где л V и0(Х) еН (Я"+у), м,(х,) и 5 > — а через А* - сужение оператора А\ на ?>, .
Ниже, как и ранее, мы будем искать подпространства пространства ?>. , описываемо мые в терминах граничных условий, сужения на которые оператора Д*0 являются симметрическими операторами.
Аналогично главе 6 рассмотрим линейные многообразия вида й р,.„.* = {м(х) е ?)д. щ(*) + Д (1 - А)кц(х<) = 0,/ = 1,.,А:}
Г> А.„.* =
Пусть в L1{Rn+v) выбрано замкнутое подпространство W инвариантное относительно оператора Д*0, такое, что W . = W n D? к является всюду плотным в W. Обо
Д„ Pi' ' значим через Ав vk сужение оператора А*0 на W а через А к обозначим сужение
Pt > > д(> оператора ?*L на D ?,,v,k.
УТВЕРЖДЕНИЕ 8.4. Пусть W выбрано так, что для любой функции ы(х) efV . выполнено условие
0,z)=0, к, (25) тогда оператор A? v к является симметрическим.
Как и раньше, сначала решим вопрос об обратимости оператора Я2 - А в L1(Rn+v), а потом сформулируем необходимые и достаточные условия обратимости оператора Л2 - А ?:,v,k в W.
УТВЕРЖДЕНИЕ 8.5. Оператор (Л2 - А ?,,v,k) обратим в пространстве L1{Rn+v) при к > 11 достаточно большом действительном Л, а при к < обратного оператора не существует ни для какого Л.
Далее возникает естественный вопрос о обратимости оператора Я2 - ? д,,^. Для этого во второй части восьмой главы проводится оценка индексов соответствующих пространств Соболева и приводится точная оценка параметра к.
ТЕОРЕМА 8.6. Оператор (Л2 - А ?,,v,k) обратим в пространстве Wпри к > — - — и достаточно большом действительном Л, а при к< — — обратного
8 2 8 2 оператора не существует.
Аналогично предыдущему, можно сформулировать необходимые и достаточные условия самосопряженности оператора А д, „,к. Пусть W замкнутое подпространство в L2(R2") инвариантное относительно оператора Д*0такое, что, W^.=D? vkr\W всюду плотно в W и W 0.
ТЕОРЕМА 8.7. Самосопряженность оператора Ар ук эквивалентна выполнению двух условий: г , Зу 1
1. к>--
2. Для любой функции и(х) е Ш . будет выполнено щ (О, г) = О, /=/,.,/я, а его полуограниченность эквивалентна условию неотрицательности констант Д > О,
Особый интерес представляет задача построения самосопряженных расширений оператора А, во всем Ь2(112"). Так как для условий Скорнякова-Тер-Мартиросяна таких расширений не существует, то мы рассмотрим некоторое обобщение этих условий, сохраняющее свойства локальности.
В главе 7 рассмотрен случай, когда размерность пересечения плоскостей равна нулю. В этом случае граничные условия имеют вид
С, ("о (*) + Е <Р{Г] (*,)) + А О Д)* Щ ) = О
ОоМ+Е ипХхт)=о
Рассмотрим линейное многообразие Окр1,У сД. такое, что
А о V- = {и(х. о е Яд. |/* (и0 (х) + ? р(гу )му (х,)) + Д (1 - А)" и,. (х,) = 0, / = 1,., т)
Обозначим через Ак^ сужение оператора Д*0 на/Уд."
УТВЕРЖДЕНИЕ 7.4. Оператор Акр1,„ является симметрическим. Рассмотрим вопрос об обратимости оператора (Л2 - • ТЕОРЕМА 1.10. Оператор (Л2 - АкР, обратим в пространстве Ь2{Е2")при к > и достаточно большом действительном Я, а при к < обратного оператора не существует ни при каком Л.
Далее ответ на основной вопрос о самосопряженности оператора Д*д,и дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 7.11. Оператор Акр1,у является полуограниченным самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда выполнены два условия
В главе 8 рассмотрим случай ненулевого пересечения. Тогда граничные условия будут иметь вид
С, («o(*) + ? 9irj)Uj{xpz)) + ?x 1-Д)* и,(х,) = О j* 1 Х )и,(*,»*)) +А»О-*)* = 0. j*m
Как и в случае нулевого пересечения, рассмотрим линейное многообразие Dk?i,v
DkPl,v = u(x)eDAl . (26) j*i
Как и ранее, обозначим через Акр,,У сужение оператора А*0 на ^.
УТВЕРЖДЕНИЕ 8.6. Оператор Ak?i,v является симметрическим. На вопрос об условиях обратимости оператора А2 - Д*дотвечает следующая теорема. ТЕОРЕМА 8.8. Оператор (tf -1??„v) обратим в пространстве L2(Rv+n) при к> — — и достаточно большом действительном Л, а при к < — - — обратного 8 2 8 2 оператора не существует ни при каком Л.
А на главный вопрос о необходимом и достаточном условии его самосопряженности и полуограниченности отвечает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8.10. Оператор Akpl,v является полуограниченным самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда выполнены два условия
На этом изучение самосопряженных расширений заканчивается. В конце диссертации в главе 9 строятся самосопряженные в существенном расширения операторов, полученных в предыдущих главах и не являющихся самосопряженными.
В начале рассмотрим операторы Аа'рк. В главе 6 показано, что они не являются у-2 самосопряженными при условии О < к < —-— . Таким образом операторы, которые определяются граничными условиями Скорнякова-Тер-Мартиросяна не являются самосопряженными. Следующая задача будет состоять в том, чтобы определить условия, при которых соответствующие операторы являются самосопряженными в существенном.
Нашей первой задачей является выяснение вопроса о существовании самосопряженного в существенном расширения оператора Д0 в Ь2{Яп) с областью определения (17). Ранее было построено симметрическое расширение оператора Д0, которое было обозначено Аа,рк.
Как было отмечено выше, оператор Аа,рк является самосопряженным тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия р > и а ф ® • ОтсюДа слек — 2 дует, что при 0 < р < —-— оператор Аа'рк не является самосопряженным.
ТЕОРЕМА 9.1. Оператор Аа,р,к является самосопряженным в существенном при к=3 для любых неотрицательных значениях р и а, а при к=2 для любых р>0 и а>Ы, где N некоторая положительная константа.
Перейдем к задаче на пучке плоскостей. Как и ранее, обозначим через Ь пучок плоскостей. Рассмотрим оператор Аь с областью определения (20). В данном случае формулировка условий не зависит от того, имеет ли пересечение плоскостей нулевую размерность или ненулевую.
Ранее нами было построено симметрическое расширение оператора Аь, которое обозначалось как Ар л,к, и были сформулированы условия симметрии этого оператора. у-2
Оператор Ар ук не является самосопряженным при 0 < к < —^— . Заметим, что для нас особенный интерес представляет случай к=0, так как в этом случае граничные условия (22) определяющие область определения оператора Ар ук совпадают с граничными условиями Скорнякова-Тер-Мартиросяна. Сформулируем условия при которых оператор Ад^ будет самосопряженным в существенном.
ТЕОРЕМА 9.2. Оператор А^ А является самосопряженным в существенном при v = Ъ для любых неотрицательных значениях к и Д,/ = 1,2,.,к0, а при у = 2 для любых к > 0 и Д > N,1 = 1,2,.,к0, где N некоторая положительная константа.
Заметим, что утверждение этой теоремы следует из того, что оператор (Л2 - Ар 1,к) положителен и его образ является всюду плотным в Ь2(Кп+1'). Отсюда следует, что оператор 1,к является самосопряженным в существенном и имеет единственное полуограниченное самосопряженное расширение. Аналогичные результаты получены и для оператора .
Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту академику РАН В. А. Ильину и профессору В. Е. Шаталову за постоянное внимание и консультации на протяжении всей работы.