Справка: Кузьмина, Наталья Александровна. Двойственная геометрия распределения Картана : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.04 / Кузьмина Наталья Александровна; [Место защиты: Казан. гос. ун-т им. В.И. Ульянова-Ленина] - Чебоксары, 2009 - Количество страниц: 129 с. ил. Чебоксары, 2009 129 c. :
Объем: 129 стр.
Информация: Чебоксары, 2009
Содержание:
ВВЕДЕНИЕ
1 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
2 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
1 Постановка вопроса и актуальность темы
2 Цельработы
3 Методы исследования
4 Научная-новизна1
5 Теоретическая и практическая значимость
6 Апробация
7 Публикации
8 Вклад автора в разработку избранных проблем
9 Структура и объём работы
10 Некоторые замечания
3 СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
ГЛАВА I ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТАНА
§1 Распределение Картана ОМ в проективном пространстве Р2т
1 Дифференциальные уравнения распределения Картана C>W в проективном пространстве Р2/и
2 Инвариантные оснащения распределения Картана сМ в Р2т в смысле А П Нордена и Э Картана
§2 Ассоциированное гиперполосное распределение Картана в проективном пространстве Р2/и
1 Дифференциальные уравнения ассоциированного гиперполосного распределения Картана с$6 в Р2ш; поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении с^б
2 Двойственный образ регулярного ассоциированного' гиперполосного распределения Картана С&6 в Р2/п
§3 Инвариантные оснащения распределения Картана ОW в Р2/„ с использованием ассоциированного гиперполосного распределения
1 Двойственная нормализация распределения Картана Of Г в Р2т
2 Оснащение в смысле Э Картана распределения Картана oWBP2m
3 Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик Q2m-\ на распределении Картана
ГЛАВА II ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТАНА оМ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р2т
§1 Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении Картана Q>W в V2m
§2 Первая проективная связность на оснащённом в смысле Э Картана распределении Картана OW в Р2т
§3 Двойственные проективные связности на оснащённом распределении Картана oW в Р2/„
§4 Нормальные связности первого рода, индуцируемые на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана ОW в Р2т
§5 Поля плоскостей на распределении Картана, параллельные в нормальных связностях
Введение:
Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии присоединённых расслоенных многообразий. История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [93] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля в 1918 году Г. Вейль [99] ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [92], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [24] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И'. А. Схоутен [95], [96] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.
В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17] и Ш. Эресман [91] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.
В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [39] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющие определённым условиям.
Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [44].
В 1926 г. Э. Картан [88] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной'группой G».
Некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см. работы В.В.Вагнера [14], А. В. Гохмана [22], П. К. Рашевского [57], С. А. Чаплыгина [79]).
Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле /w-мерных пучков направлений не задаёт семейства m-мерных подпространств (см. работы В. В. Вагнера [13], [15], Д. М. Синцова [58], А. И. Схоутена [97], монографию Михэй-леску [94]).
В 70-х годах 20-го столетия теория распределений га-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщённая теория распределений га-мерных линейных элементов в проективном пространстве Р„ и пространстве проективной связности Рл„ получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [42], [43], [51], [52]).
В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью» без кручения* эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [11], [12]. Ю. Г. Лумисте [45] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Ал шибая. [1] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [47], [48] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.
В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [46, 2-е изд.], в которой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [46], нормализация w-мерного проективного пространства Р„ состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 — гиперплоскость », где А0 ? . При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Ря, двойственное исходному пространству Р/г. Нормализации Aq —> отвечает внутренняя5 проективно-евклидова геометрия* (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Pw позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Р„, а связку гиперплоскостей с центром в точке Aq — за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Ри и Р„ индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П'. Норденом также названы двойственными.
Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Ря, А. И. Норден [46], В. В. Вагнер [16], А. И. Чахтаури [81], [82],
А. П. Широков [84], А. В. Чакмазян [76], Ю. И. Попов [54] - [56], М. А. Ва-силян [18] — [20] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению ч некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Vnx с: Ря, гиперполосы Нт а Р„, нормализованного пространства Р„, а также по изучению двойственной геометрии сетей Z2 cz Р2 и S2 сГ2 сР3. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.
В работе А. В. Столярова [73], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей, значительно расширена теория двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных оснащениях (в смысле Э. Картана, А. П. Нордена,
Э. Бортолотти) ряда многообразий пространства проективной связности р
В классической дифференциальной геометрии теория сетей занимает существенное место. В этом направлении по двумерным и трёхмерным сетям интересные результаты получили Годо (Godeaux L.), Швец (Svec А.), СуБу-цин (Su Buchin), Ефимов Н. В., Дубнов Я. С., Бланк Я. П., Гольд-берг В. В., Чахтаури А. И., Шуликовский В. И. и др.
В области дифференциальной геометрии многомерных сетей существенные результаты получили Чжень Шэн-шэнь [90], Смирнов Р. В. [59], Ба-зылев В. Т. [2] - [10] и др. Степанов С. Е. [60] - [62] в пространстве аффинной связности Ln (п > 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью.
Но следует заметить, что все эти исследования проведены без привлечения теории двойственности; исключения составляют работы А. И. Чахтаури по двумерным сетям и некоторые работы Столярова А. В. — по многомерным [63], [68], [71]. В начальной стадии находятся исследования двойственной геометрии аналогов сетей, а именно, тканей на неголономных подмногообразиях, погружённых в пространства проективной структуры.
Э. Картан [86], [87] при изучении семейства асимптотических форм многомерных поверхностей проективного пространства Р„ выделил класс таких поверхностей Vm (п> 2т), для которых:
1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм фа = Aaik6) о О) о (г, j, к = 1, т\ а = т +1,2т )на поверхности равно т;
2) поверхность Vm несёт сеть сопряжённых линий; следовательно, в репере, отнесённом к этой сети, направления касательных к её линиям попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Фа = 0.
Сеть на поверхности Картана является голономной, то есть вдоль каждой линии сети поверхность Vm допускает расслоение на (т -1) -мерные подповерхности, несущие сети из линий остальных т — 1 семейств.
Поверхность Картана есть частный случай /^-сопряжённой системы.
Изучением поверхности Картана Vm также занимались В. Т. Базылев [2], А. В. Столяров [66] и др.
Обобщая.понятие поверхности Картана, нами вводится [25], [26] понятие «распределения Картана».
В! проективном пространстве Р2ш, отнесённом к подвижному реперу R = {Ajj, рассмотрим распределение OW касательных элементов (А0,Пт) [43]. В репере нулевого порядка (вершины репера А0,А, расположены в соответствующей плоскости распределения, причём А0 совпадает с его центром) система дифференциальных уравнений распределения /я-мерных линейных элементов имеет вид cof = A?iL6)q [43].
Продолжая уравнения этой системы, получим, что совокупность функций есть тензор первого порядка, вообще говоря, не симметричный по индексам /, к, но им охватывается симметричный тензор
Допустим, что: 1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм Фа = afko)'0o)о на распределении равно т; 2) распределение О if несёт га-ткань сопряжённых линий, то есть направления касательных к линиям ткани Е cz olf попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Фа = 0.
Такое распределение, по аналогии с поверхностью Картана [86], [87], назовём распределением Картана QM.
Следует заметить, что двойственная теория ряда оснащённых подмногообразий (голономная и неголономная гиперполосы, голономная и неголо-номная гиперповерхности), вложенных в и-мерное пространство проективной связности ?пп (в проективное пространство Р/г) разработана достаточно полно (см., например, [73]). Но до настоящего времени вопросы, изучения двойственной геометрии поверхности и распределения Картана математиками не ставились и не рассматривались.